Vektor Mellem To Punkter
Vektor mellem to punkter Man kan finde en vektor, hvis man har to punkter: Eksempel: Et linjestykke går fra punktet A(1, 2) til punktet B(4, 5). Find en vektor der har retningen A til B. Emnet "Vektorer i planen" fortsætter: Længde
Vektor mellem to punkter live
Vi skal her forbinde punkter i et koordinatsystem med vektorer. Figuren her viser altså en vektor, der er fastlagt ved de 2 punkter \(A\) og \(B\). \(\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\) Vektorens koordinater bestemmes ved at trække \(A\)'s koordinater fra \(B\)'s. Vi kan også bestemme afstanden mellem de 2 punkter \(A\) og \(B\). Afstanden 2 punkter er nemlig lig med længden af vektoren, der forbinder punkterne. Dvs. \(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) Afstandsformlen Afstanden mellem 2 punkter \(A(a_1, a_2)\) og \(B(b_1, b_2)\) findes ved: \(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) Ved hjælp af formlen kan vi altså beregne afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem eller længden af en vektor. Lad os tage et eksempel. Vi ønsker at bestemme afstanden mellem \(A(2, 5)\) og \(B(6, 9)\) findes ved: \(|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(9-5)^2}\) \(=\sqrt{16+16}\) \(=\sqrt{32}\) Lad os som det næste indtegne en trekant \(ABC\) ind i et koordinatsystem. Ud fra vinkelspidsernes koordinater kan vi beregne koordinaterne til de 3 vektorer \(|AB|=\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(|BC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(|AC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\) Læg nu mærke til, at \(|AB|+|BC|=|AC|\) Det ses altså her, at der er præcis sammenhæng mellem geometrien samt beregningerne.
- Sommerhuse til leje på fyn
- Smart Højttalere - Styr hjemmet med stemmestyrring - Elgiganten
- Vektor mellem to punkter
- Dansk stand up tv
- Vektor mellem to punkter square
I dette afsnit kommer vi ind på det grundlæggende vektorbegreb. En vektor er en pil, der har en længde og en retning. Man betegner oftest vektorer med små bogstaver med en lille pil over. $$\overrightarrow{a}$$ En vektor har to koordinater, der beskriver hvor lang vektoren er i hhv. x-aksens og y-aksens retning. Man skriver koordinaterne i en søjle med x-koordinaten øverst og y-koordinaten nederst. $$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$$ Når man tegner en vektor ind i et koordinatsystem, er det lige meget, hvor man starter. Så længe pilen har samme længde og retning, er det den samme vektor. Her er eksempler på nogle vektorer med koordinater angivet Ensrettede og modsatrettede vektorer To vektorer, der er parallelle og har samme retning, kaldes ensrettede, mens to parallelle vektorer med hver sin retning kaldes modsatrettede. Nulvektoren og egentlige vektorer Den vektor, der har koordinaterne (0, 0) kaldes for nulvektoren $$\overrightarrow{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$ Nulvektoren har samme start- og slutpunkt.
Man betegner længden af en vektor som $$|\overrightarrow{a}|$$ Man finder længden af en vektor ved følgende formel $$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$ Formlen er let at udlede ved hjælp af Pythagoras' læresætning. Vi har en retvinklet trekant. $$|a_1|^2+|a_2|^2=|\overrightarrow{a}|^2$$ Bemærk at stregerne omkring a 1 og a 2 betyder "numerisk værdi", mens stregerne omkring vektor a betyder "længde". Dette skyldes at a 1 og a 2 bare er tal, mens vektor a er en vektor. Hvis man tager numerisk værdi af et tal og sætter det i anden, så får man det samme som hvis man bare havde sat tallet selv i anden (fordi minus gange minus giver plus, og plus gange plus giver plus). Derfor kan vi omskrive til: $$a_1^2+a_2^2=|\overrightarrow{a}|^2$$ Nu er der bare tilbage at tage kvadratroden på begge sider, så har man formlen for længden af en vektor. Hvis man vil finde længden af vektoren $$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$$ så er den $$|\overrightarrow{a}|=\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$ Afstandsformlen Når man vil bestemme afstanden mellem to punkter, så er det det samme som at finde længden af vektoren mellem de to punkter.
Vektor mellem to punkter Hvis man har to punkter, kan man tegne en vektor mellem dem. Vektoren vil have koordinaterne $$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}$$ Enhedsvektor En enhedsvektor er en vektor, der har længde 1. vektoren $$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\$$ For hver vinkel v, kan man danne enhedsvektoren $$\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$$ der har længde 1 på grund af grundrelationen Hvis man har en vektor, a, kan man forkorte den, så man får en enhedsvektor, e, med samme retning ved hjælp af denne formel $$\overrightarrow{e}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}$$ Videolektion
